Πρώτοι αριθμοί
pagalidis
"Κουδούνι ρε στούρνοι, μαζευτείτε στην τάξη. Τσιμπουκίδου σβήσε το τσιγάρο τώρα. Και πηγαίντε και μαζεύτε τον Μπάμπη το Σουγιά απο τις σκάλες, πάλι μαστούρωσε ο καμμένος"
"Μα κύριε καθηγητά.."
"Κεριά να σας μπούν εκεί που δεν μπαίνει φώς ρε!. Παλουκωθείτε"
"αχ πως τα λέτε κύριε καθηγητα..."
"Τσιμπουκίδου εσένα στο μπουλκουμέ ο νους σου. Χρειάζεσαι χρειαζεσαι ιδιαίτερα.. μανούλι..
Λοιπόν σήμερα αγαπητά μου ζώα, θα σας μιλήσω για τους πρώτους αριθμούς. Τους έχετε ακουστά ή ..
"Ε ναι κυριε καθηγητα, 1,2,3,4,5 αυτοι είναι οι πρώτοι"
"Τον κακό σου το φλάρο. Σκάστε και ακούστε ..
Πρώτος ονομάζεται κάθε φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος του 1 που μόνοι του θετικοί διαιρέτες είναι το 1 και ο εαυτός του.Οι άλλοι αριθμοί ονομάζονται σύνθετοι. Καταφέρατε να μπερδευτείτε ε?
Ποιοί είναι οι φυσικοί αριθμοί Στουρναρίδη?
"Οι θετικοί ακέραιοι κύριε καθηγητά : 0,1,2,3,4,5,6... κλπ"
!!!!!! Στουρναρίδη παίρνεις αναβολικά?
Ετσι.. πουχου : Το 5 είναι πρώτος αριθμός γιατί διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του και το 1. Το ίδιο και το 7, το 11 κλπ..
Οι πρώτοι "πρώτοι" αριθμοί είναι οι εξής :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103...
Το 2 είναι ο μοναδικός ζυγός πρώτος αριθμός. Όπως θα παρατηρούσατε άμα δεν είχατε το μυαλό σας στα βυζιά της Τσιμπουκίδου, όλοι οι πρώτοι είναι μονοί, ή όπως θα λέγαμε εμείς οι μαθηματικοί, περιττοί.
Οι πρώτοι αριθμοί παιδεύουν τον κλάδο εδώ και χιλιάδες χρόνια, βασικά εξαιτίας του Θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής (που πρώτος απέδειξε ουσιαστικά ο Ευκλείδης), που λέει ότι Kάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο πρώτων αριθμών, και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο. Δηλαδή ζώα, ο οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός έχει μια μονοσήμαντη ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Αυτό μπορεί να σας φαίνεται μπούρδα, αλλά έχει τρελλή εφαρμογή στον τομέα της κρυπτογραφίας.
Πως ? Ας πούμε οτι στέλνετε έναν κωδικοποιημένο μήνυμα σε έναν φίλο σας. Το κλειδί για την κωδικοποίηση είναι ένας πολύ πολύ μεγάλος αριθμός. Για να διαβάσει το μήνυμα ο τυπάς πρέπει να ξέρει την μονοσήμαντη ανάλυσή του σε πρώτους αριθμούς. Οποιοσδήποτε ήθελε να υποκλέψει το μήνυμα, του ήταν άχρηστο, γιατί για πολύ μεγάλους αριθμούς, η μονοσήμαντη ανάλυση σε πρώτους είναι μεγάαααλη ιστορία. Τώρα με τα πισιά έχουμε κάνει προόδους, αλλά και πάλι χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος, με αριθμούς μεγαλύτερους όμως του 10^100 αν θυμάμαι καλά. (αυτό είναι ένα 1 με 100 μηδενικά δίπλα ζώα...)
Το θεώρημα αυτό προφανώς δεν λαμβάνει υπόψην το 1 ως πρώτο γιατί θα είχαμε επιπλοκές που δεν είναι της ώρας να πούμε.
Θέμα δεύτερον : Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Και αυτό ο Ευκλείδης το είπε ρε ζώα. Και το απέδειξε μάλλον, δεν το κατέβασε απλά απο τη γκλάβα του μια μέρα που έκανε μπουγάδα τις λερωμένες του χλαμύδες!
Και ξέρετε πως το απέδειξε? Με μια πολύ απλή σκέψη :
" Πάρτε πεπερασμένο αριθμό πρώτων. Πολλαπλασιάστε τους και προσθέστε ένα. Το νούμερο που βγαίνει ως αποτέλεσμα, δεν διαιρείται με κανέναν από το πεπερασμένο σύνολο των πρώτων, επειδή τότε πάντα θα είχαμε υπόλοιπο 1. Άρα είτε ο αριθμός αυτός είναι πρώτος, είτε διαιρείται από έναν άλλο πρώτο που δεν υπάρχει μέσα σε αυτό το σύνολο. Άρα έχουμε και άλλους πρώτους πέραν αυτού του συνόλου"
Σε αντίθεση με αυτό που θα υποψιαζόσασταν αν είχατε τα μυαλά σας στο μάθημα, το να βρούμε πρώτους αριθμούς, δεν είναι και τόσο εύκολο. Δεν έχουν έναν συγκεκριμένο ρυθμό ή τρόπο που εμφανίζονται. Είναι πιο εύκολο να τσεκάρουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος, παρά να βρούμε πρώτους αριθμούς. Ένας κλασσικός τρόπος για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος, είναι το λεγόμενο "Κόσκινο του Ερατοσθένη", αλλά σας βλέπω να νυστάζετε και το αφήνω για αύριο.
Δεν υπάρχει κάποιος τύπος για να βρίσκουμε πρώτους. Υπάρχει ο τύπος f(n)=n^2-n+41 αλλά μας δίνει πρώτους για n απο 0 μέχρι 40. Το f(41) δεν είναι πρώτος.
Η ιστορία με τους πρώτους είναι τεράστια και μπορεί να γεμίσει εγκυκλοπαίδειες ολοκληρες. Γενιές και γενιές μαθηματικών έχουν σπάσει τα ξεράδια τους με αυτούς.
Τους έχουν χωρίσει και σε είδη κιόλας.
Υπάρχουν οι πρώτοι του Fermat : Πρώτοι που έχουν τη μορφή 2^(2^n) + 1
Οι πρώτοι του Mersenne : (2^n)-1
Οι πρώτοι του Wiles : Ένας πρώτος p είναι πρώτος του Wiles αν το p^2 διαιρεί το (p-1)!+1 κ.ο.κ
Θα μπορούσαμε να γράφουμε χιλιάδες σελίδων και να μην τελειώνουμε ποτέ..
Κλείνω το σημερινό μάθημα με τρία "ανοιχτά προβλήματα" που αφορούν πρώτους :
Η υπόθεση του Riemann : Ο Riemann μια μέρα, αφού είχε ξυπνήσει και είχε ρίξει έναν πρωινό στην υπηρέτριά του, είπε την αττάκα "χμμμ, οι πρώτοι πρέπει να είναι τοποθετημένοι όσο κανονικότερα γίνεται για την περίπτωσή τους" .
Η εικασία του Goldbach(που το ομότιτλο βιβλίο διάβασε όλη η Ελλάδα και προσπαθούν να το αποδείξουν απο φοιτήτριες της Φιλοσοφικής μεχρι του παιδαγωγικού..ελεος) : Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πρώτων?
Η εικασία του Legendre (ευτυχώς που δεν έχει κυκλοφορήσει στους κύκλους των βιβλιόφιλων γιατί πάλι θα με έπαιρναν τηλέφωνο στις 4 το πρωί να με ρωτήσουν παπατζιλίκια, όπως με τον Goldbach) : Για κάθε n υπάρχει πρώτος αριθμός μεταξύ των n^2 και (n+1)^2
Αγαπητά μου παιδιά, κατ' αρχήν ΞΥΠΝΗΣΤΕΕΕΕΕΕΕ και ακολούθως άμετε στο καλό του Μολώχ να πάμε και εμείς σπίτια μας.
Εσύ Τσιμπουκίδου ξέρεις, 6-8 μάθημα ε..
Comments
Το κείμενο είναι από τον bobiras11 (από το 2008 και εκτός παιχνιδιού) και η φωτό επιλογή κάποιου φίλου.
ax kiria tsimpoukidou 😛
Το θεώρημα αυτό προφανώς δεν λαμβάνει υπόψην το 1 ως πρώτο γιατί θα είχαμε επιπλοκές που δεν είναι της ώρας να πούμε.
δεν είμαστε ζώα ρε ζώον κι αν είναι να μας πεις κάτι πες μας κάτι σοβαρό , κάτι που άλλοι βαριούνται να μας που αλλά κι εσύ στουρνάρι είσαι και λες μόνο όσα ξέρεις πως δεν χωρούν αμφισβητήσεως... άντε βούρλο να σε δω τώρα να απαντάς γιατί δεν λαμβάνει το θεώρημα το 1 ως πρώτο , ψιτ ...περιμένω απάντηση αλλιώς θα σε κράζω μέχρι ανάστασης!!!!!
παρακαλώ όπως προωθήσετε το παραπάνω σχόλιο εις τον συγγραφέα , ευχαριστώ
βασικά , αν και γνωρίζω τα περί πρώτων αριθμών, δεν είμαι μαθημτικός, οπότε δεν με γοητεύει η ύπαρξή τους.... απορώ όμως, σε ποιό τμήμα, ποιάς σχολής θα μπορούσε να παραδοθεί με τέτοιο τρόπο το εν λόγω αντικείμενο, καθώς η εν λόγω μαθήτρια, μάλλον από τις αντιδράσεις; της σε σχολή αισθητικής θα πήγαινε...
τες πα ψηφίστηκε ως εκπαιδευτικό
Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το 1 με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι ο εαυτός του και το 1.
Επομένως το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί.
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός ενώ όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονοί.
Ιδιότητες πρώτων αριθμών
* Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος.
* Αν ένας αριθμός ν δεν έχει διαιρέτες μικρότερους ή ίσους από την τετραγωνική του ρίζα, τότε είναι πρώτος.
* Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα, εκτός του 2 και του 5, έχουν ως τελευταίο ψηφίο κάποιο από τα 1, 3, 7 ή 9 (διότι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8 είναι πολλαπλάσια του 2 ενώ οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5).
* Αν ο p είναι πρώτος και διαιρεί το γινόμενο αβ γιά κάποιους ακέραιους α και β, τότε ο p διαιρεί το α ή το β. (Ευκλείδης)
* Αν p πρώτος και α ακέραιος, τότε το αp−α διαιρείται από το p. (Μικρό Θεώρημα του Φερμά)
* Ένας ακέραιος p>1 είναι πρώτος αν και μόνο αν (p−1)!+1 διαιρείται από το p. (Θεώρημα του Ουίλσον)
Το κόσκινο του Ερατοσθένη. Μία απλή μέθοδος για να βρούμε τους πρωτους αριθμούς.
(Κάντε το copy-paste την γραμμή διευθύνσεων)
http://1.bp.blogspot.com/_v0UM9BlQ1ws/R6d5UQWa35I/AAAAAAAAAHU/mzqJPaq_2q4/s1600/Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif
0:
Εξ ορισμού δεν είναι πρώτος γιατί αν και διαιρείται ακριβώς με τη μονάδα
0/1 = 0 δεν διαιρείται με τον εαυτό του για λόγους που ακόμα δεν έχω
καταλάβει. Γενικά 0/0 δεν ορίζεται. Ακόμα όλα τα πολλαπλάσια του 0
ισούνται με τον 0. Είναι ο μοναδικός αριθμός που διαιρείται ακριβώς με
όλους τους φυσικούς αριθμούς εκτός από τον εαυτό του. Δεν έχει δηλαδή
ακριβώς 2 φυσικούς διαιρέτες αλλά άπειρους.
1:
Εξ ορισμού δεν είναι πρώτος γιατί διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του
1/1 = 1. Δεν έχει δηλαδή ακριβώς 2 φυσικούς διαιρέτες αλλά μόνο έναν.
Όλα τα πολλαπλάσιά του διατηρούν την τιμή τους. Είναι ο μοναδικός
αριθμός που έχει πολλαπλάσια όλους τους φυσικούς αριθμούς εκτός από
τον 0.
2:
Είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός. Αφού διαιρείται ακριβώς με τον εαυτό του
και με τη μονάδα είναι ο πρώτος που ικανοποιεί τον ορισμό των πρώτων
αριθμών. Ακόμα είναι ο μοναδικός άρτιος (ζυγός) αριθμός που είναι
πρώτος. Ο 2 έχει άπειρα πολλαπλάσια που δεν είναι πρώτοι αριθμοί αφού
βέβαια διαιρούνται με τον ίδιο. Ο 2 με τα πολλαπλάσιά του δημιουργεί
ολόκληρο το σύνολο των άρτιων αριθμών.
Όσο εσύ κάνεις ιδιαίτερα στην Τσιμπουκίδου στείλε την φιλοσοφική και το παιδαγωγικό να τους αναλύσω τον Goldbach. Τι στο καλό, γι αυτό είναι οι φίλοι.
ομορφιέςς
Μαύρε!!!! Δουλεύεις φροντιστήρια χριστουγεννιάτικα;;; έπηξες.
Αν θυμάμαι καλά το μηδέν (0) δεν είναι φυσικός αριθμός.
μπραβο ρε παγκαλίδη
eiste 8ea kyrie xD
Eγω απο...μαθηματικα,πρωτους ή δευτερους....αντε και τελευταιους αριθμους, δεεεννν......
Η κυρια τσιμπουκιδου μου εμεινε!!! 😛PP
VOTED σε παλια συνδρομη!!!
hammered Τσιμπουκίδου already.
Giati mporei na min ksero pou pan ta tessera... alla ksero pou pan ta tria.
Δεν το μεταφραζεις στα γιαπωνεζικα ρε μαστορα μπας και καταλαβει κανενας;;;
😛
αχμ...ποιός ο λόγος ύπαρξης του άρθρου ?
@bpetros είναι απλό, γιατί πάρχει η κυρία τσιμπουκίδου.
παιδιά ο 0 (οπως και καθε αριθμος) δεν διαιρείται με τον εαυτό του επειδή δεν ικανοποιεί την επαλήθευση της διαίρεσης:
Δ:δ=π
Δ=δ*π
αν δ=0 τοτε εχουμε Δ=0*π
και οπως θα διαπιστωσετε δεν υπαρχει καποιος αριθμος που να πολ/ζεται με το 0 και να βγαζει αποτελεσμα καποιον αλλο αριθμο απο το 0! 🙂
το απεδειξα στην ά γυμνασιου!! ειναι ευκολο!